【数学】因式分解！（初级）
juruojjl_
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2021-08-21 21:17:49
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个人记录
-1 前言
关于文章的符号的解释
加粗是极其重要的。
加星号是极其重要的。
加加号是难度较大的。
其实这篇文章是面向洛谷的小学生的（
如果有错，请在评论区指出awa
如果不懂可以私信qwq
会一直更新的awa
好，进入正题。
0 什么是因式分解
因式分解，指的是将一个多项式分解为多个因式的乘积。
如果您已经学过了整式乘法，那也许可以简单的认为是整式乘法的逆运算。
0.5 前置知识
你需要学习整式乘法和多项式除法以及之前的所有知识，没了。
1 *提取公因式法
这是因式分解最基础，也是极为重要的一个方法。
因式分解三部曲的第一步：一提，即为提取公因式。
有的时候，在你看不出这题怎么因分的时候，提取公因式之后，就会发现一片新大陆，明白怎么做了。
这点会在你以后的学习中逐渐理解的。
那么具体怎么提取公因式呢？
先找每一项系数的最大公因数，然后找出各个字母的最小次数。
本人语文能力有限，如果看不懂，就看看几个实例罢。
（其实如果你学过小学奥数，你可以想一下提取公因数的过程）
先来几道题感受一下怎么提取公因式罢，
1.1 如何求公因式？
例一（1）：求3x^3-6x^2的公因式。
解：
先看这个多项式的系数的最大公因数，(3,6)=3（其中(x,y)是x和y的最大公因数的意思）
所以公因式的系数就是3。
然后再看字母。
多项式各项次数最小的项是-6x^2。
这项字母x的指数是2。
这就是公因式中x的次数了。
如此即可得出多项式的公因式为3x^2。
那么难度就升级一下罢。
（2）：求5x^6y^4+20x^5y^2+15x^3y的公因式。
解：
多项式系数最大公因数是5。
多项式各项中x次数最小是3。
所以公因式就是$5x^3y$了。
实例看完了，接下来就开始因分罢。
注意：这里**默认你已经学过单项式除以单项式的知识，如果没学过请先去了解一下。这是个较为重要的知识。**
## 1.2 开始提取公因式了！
例二（1）：因式分解$3x^3+6x^2y+3xy^2
解：
可以求得原式的公因式是3x
所以原式=3x(x^2+2xy+y^2)
其实这玩意还能继续因分，
学了第二章你就明白力。
（2）：因式分解75x^5y^8z^4+125x^3y^9z^7-100x^6y^2z^3
解：原式=25x^3y^2z^3\times3x^2y^6z+25x^3y^2z^3\times5y^7z^4-25x^3y^2z^3\times4x^3
=25x^3y^2z^3(3x^2y^6z+5y^7z^4-4x^3)
（3）：因式分解(1-x)^3+4(x-1)^2-7(x-1)
解：原式=(x-1)(-(x-1)^2+4x-4-7)
=(x-1)(-x^2+2x-1+4x-4-7)
=(x-1)(-x^2+6x-12)
=-(x-1)(x^2-6x+12)
接下来，就是一些习题啦QwQ
想要答案的私信juruojjl获取哦
习题1：
（1）x^4-x^2+x
（2）7a^2b^4c^3d-21a^3b^2cd^5+343a^6b^8cd^4
（3）2(a-b)^2+8ab
（4）5(a-1)^3-15a(a-1)
（5）-mx^3+x^5+mx^4-x^4+x^3-mx^5
*2 公式法
2.1 因分需要的公式
因式分解第二步：二套，即套公式。
具体是哪些公式呢？
非常多，在这里列一下罢。
x^2\pm2xy+y^2=(x\pm y)^2
x^2-y^2=(x+y)(x-y)
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2
x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2)
当然，有的时候还要对公式进行变形。
单纯套公式可能没什么好讲的，
所以下面的过程会比较简略。
例一（1）因式分解3x^3+6x^2y+3xy^2
在第一章我们已经提取了公因式，接下来我们就套一下公式。
解：原式=3x(x^2+2xy+y^2)
=3x(x+y)^2
这就ok啦！
（2）因式分解81x^4-72x^2y^2+16y^4
解：原式=(9x^2-4y^2)^2
=(3x+2y)^2(3x-2y)^2
（3）因式分解x^6-y^6
解：原式=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
=(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)
这题看上去很复杂是吗？
实际上这题只需要稍微套一下公式就可以得解啦！
所以这些还是太基础了，来一点正常难度的题目罢
例二（1）因式分解x^2+y^2-2xy-16z^2
解：原式=(x+y)^2-(4z)^2
=(x+y+4z)(x+y-4z)
（2）因式分解a^9-1+a^6-1+a^3-1
解：原式=(a^3-1)(a^6+a^3+1)+(a^3-1)(a^3+1)+a^3-1
=(a^3-1)(a^6+a^3+1+a^3+1+1)
=(a+1)(a^2-a+1)(a^6+2a^3+3)
（3）因式分解x^{18}-1
解：原式=((x^3)^3)^2-1
=(x^9+1)(x^9-1)
=(x^3+1)(x^6-x^3+1)(x^3-1)(x^6+x^3+1)
=(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^6-x^3+1)(x^6+x^3+1)
例三 若△xyz满足(x^2+y^2-z^2)-2(xy+40z^2)=0，求证：x=y+9z
解：原式=x^2-2xy+y^2-81z^2=(x-y+9z)(x-y-9z)
\because x+9z>y
\therefore x-y+9z>0
\therefore x-y-9z=0
\therefore x=y+9z
这题啊，这题是非负数性质+三角形任意两边大于另一边
下面就是习题了qwq
（1）9x^2-30xy+25y^2-64z^2
（2）x^n-y^n(n\in \{k\in \mathbb{N_+}|2k+1\})
（3）x^2(a+b)^2-2xy(b^2-a^2)+y^2(a-b)^2
（4）9a^2+x^{2n}+6a+2x^n+6ax^n+1
（5）x^4+x^3+2x^2+x+1（后面有答案，请不要去翻，谢谢）
3 分组分解法
因式分解三部曲其三：三分组，即分组分解。
分组分解讲究技巧，下面请看。
3.1 四项式分组分解
一般来说，四项式因式分解可以分成3+1,2+2这两组
什么意思呢？
举几个例子罢。
25x^2+30xy+36y^2-9z^2
这个式子可以先用完全平方公式，再平方差。这就是3+1。
xy+x+y+1
先将这个式子分为xy+x和y+1两组。
注意到xy+x可以因式分解为x(y+1)
然后我们就可以提公因式y+1了
最后结果就是(x+1)(y+1)
这就是2+2，提取公因式。
来，上例题。
例一（1）因式分解x^4+x^3-x-1
解：原式=x^3(x+1)-(x+1)
=(x^3-1)(x+1)
=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)
分解因式要分彻底。
（2）因式分解a^2b^2x^2-abcxy+c^2y^2-d^2e^2z^2
解：原式=(abx-cy)^2-(dez)^2
=(abx-cy+dez)(abx-cy-dez)
（3）因式分解(a+b)(a-b)+4(b-1)
解：原式=a^2-b^2+4b-4
=a^2-(b-2)^2
=(a+b-2)(a-b+2)
（4）因式分解ab(c^2-d^2)-(a^2-b^2)cd
解：原式=abc^2-abd^2-a^2cd+b^2cd
=ac(bc-ad)-bd(ad-bc)
=ac(bc-ad)+bd(bc-ad)
=(ac+bd)(bc-ad)
3.2 五项式因式分解
五项式好弄点，只有3+2这一种方式。
比如：
x^3+x^2+2xy+4y^2-8y^3
(x-2y)(x+2xy+4y^2)+x^2+2xy+4y^2
提公因式得到
(x-2y+1)(x^2+2xy+4y^2)
后面题目就少一点了，没什么好讲的，思路都是一样的。
例二 因式分解x^4+x^3+2x^2+x+1
解：原式=x^4+2x^2+1+x^3+x
=\textbf{这里并没有答案，思路已给，可以自己想想qwq}
3.3 六项式以及更多项因式分解
六项式可以分成好几种。
x^2-6xy+9y^2-4a^2+4ab-b^2
前后同时使用完全平方公式得到
(x-3y)^2-(2a-b)^2
再套平方差公式得到
(x-3y-2a+b)(x-3y+2a-b)
这就是3+3，先完全平方公式，再平方差公式，有时可能是提公因式。
再看下一个。
x^2+4xy+4y^2+2x+4y+1
套公式+提公因式得到
(x+2y)^2+2(x+2y)+1
再套公式就可以得到
(x+2y+1)^2
当你学过十字相乘之后你再回来看看，你会感到这个六项式极其熟悉。
这就是3+2+1，提公因式再把公因式看成整体套公式。
刻进DNA了属于是
再看下一个。
ax^2+bx^2+ax+bx+a+b
提公因式，得到
(a+b)x^2+(a+b)x+a+b
再提，得到
(a+b)(x^2+x+1)
这就是2+2+2，不停提公因式。
接下来就做题罢。
例三（1）因式分解a^5+a^4+a^3+a^2+a+1
解：原式=a^3(a^2+a+1)+a^2+a+1
=(a^3+1)(a^2+a+1)
=(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)
（2）因式分解x^2+ax+1+ax^2+x+a
解：原式=x^2+x+1+ax^2+ax+a
=(a+1)(x^2+x+1)
或者=(a+1)x^2+(a+1)x+a+1
=(a+1)(x^2+x+1)
（3）因式分解x^2-18xy+81y^2+6x-54y+9
解：原式=(x-9y)^2+6(x-9y)+9
=(x-9y+3)^2
+（4）因式分解a^2b-ab^2+ac^2-a^2c+b^2c+bc^2-2abc
这题很有必要讲讲
解：
试着去提公因式，ab(a-b)+ac(c-a)+bc(b+c)-2abc，行不通！
那么，怎么分组呢？
这里介绍一下主元法。
是什么意思呢？指的是将某个字母以外的字母看成系数进行因式分解。
我们先试试以a为主元。
=(b-c)a^2+(c^2-2bc-b^2)a+bc(b+c)
注意到中间项系数不能因式分解，故这种方法是错误的，不能用a为主元。
再试试以b为主元。
(c-a)b^2+(c^2-2ac+a^2)b+(c-a)ac
中间项系数可以因分了！
所以原式=(c-a)(b^2+cb-ab+ac)
后面括号因分不了了，所以这就是答案了。
其实找主元有点技巧，
就拿这题来说罢。
要找到一个主元，使得其一次项系数能够被因分。
这样找主元就会快一点。
完了，词穷了
下面就是练习了。
（1）a^2b^2-a^2-b^2+1
（2）x^4+x^3y+xz^3+yz^3
（3）abc+ab+bc+ac+a+b+c+1
（4）(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3
（5）(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3+a^3+b^3+c^3
**4 十字相乘法（非常重要！）
4.1 十字相乘法
这是极其重要的一个因分方法！！！
十字相乘是啥呢？
（小学奥数好像有解决浓度问题的十字相乘法，嗯，但这里的和小奥完全没有半bit关系）
先看一个公式
(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
十字相乘的目的，就是要求出满足条件的a，b，c，d
具体如何操作？请见下。
x^2+6x+8
我们一般这样做十字相乘：
\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}
（记住，中间有一个十字，因为latex画不了所以我也没画）
对于这题呢，我们发现\begin{cases}ac=1\\bd=8\\ad+bc=6\end{cases}
于是我们考虑这个十字
\begin{matrix}x&2\\x&4\end{matrix}
所以这题答案就是$(x+2)(x+4)
也许你没看懂，看几道例题就懂了qwq
例一（1）
+5 拆添项